Таблица истинности - это один из способов вычислений в формальной логике. Таблица позволяет определить истинность какого-нибудь сложного логического высказывания по истинности его фрагментов. К сожалению, не для всякого высказывания можно составить таблицу истинности (особено вне булевой алгебры), но, когда это возможно, это удобно.
Таблица истинности имеет примерно вот такой вид:
В верхней строке указана истинность фрагментов высказывания в виде переменных
В остальных строках таблицы во всех столбцах, кроме самого правого, записаны все возможные сочетания для истинности фрагментов. Количество сочетаний зависит от количества переменных в формуле.
Если переменная 1, то сочетаний 2:
Если переменных 2, то сочетаний 4 (как в рассмотренном случае):
Если переменных 3, то сочетаний 8:
Добавление одной новой переменной увеличивает число сочетаний ровно в два раза.
Общее число сочетаний равно
В самом правом столбце напротив каждого сочетания истинностей фрагментов записана истинность, полученная по формуле.
Для того, чтобы определить истинность сложного высказывания по истинности фрагментов, надо вычислить истинность каждого фрагмента, затем найти в таблице строку, в которой истинность фрагментов в точности совпадает и следует в нужном порядке, а затем в самом правом столбце прочитать результат.
Пусть, например, мы каким-то образом выяснили, что
Теперь рассмотрим какую-нибудь интерпретацию для этих вычислений.
Пусть есть два фрагмента текста: "Саша - женщина" и "Саша - чукча". Имя "Саша" может прнадлежать как женщине, так и девушке, девочке или мужчине. Только в первом случае утверждение будет истинным, иначе - ложным. Получается, первый фрагмент текста может быть либо истинным, либо ложным, как и положено булевому высказыванию.
Рассмотрим второй фрагмент. Имя "Саша" в ходу у разных национальностей. Тут нам надо избежать споров на тему: а насколько чистокровная чукча та Саша, чтобы называть ее чукчей. Мы будем считать чукчами всех, у кого есть отец, который в данный момент жив и считает себя чукчей, и мать, которая тоже в данный момент жива и считает себя чукчей. Такой критерий оставляет нам только два варианта: либо истина, либо ложь, так что второй фрагмент, понимаемый таким образом,- тоже высказывание. Пусть далее мы каким-то способом выяснили, что Саша, о которой шла речь,- действительно женщина, но не чукча, а украинка.
Первый фрагмент: "Саша - женщина". Обозначим его истинность переменной
Второй фрагмент: "Саша - чукча". Его истинность обозначим переменной
Дальше, как объяснялось выше, ищем в таблице нужную строку и выясняем, что по формуле
Я специально рассказываю так подробно, поскольку таблицами истинности мы будем пользоваться еще не раз. Теперь перейдем к изучению конкретных операций (и их таблиц истинности).