Воспроизведем таблицу истинности для следования:

№	R	S	R S
1	false	false
2	false	true	*
3	true	false	~
4	true	true

Рассмотрим теперь несколько случаев.

Выделим свободные переменные:

• которые есть в формуле R (но не в S) - пусть это для определенности переменные r₁,...r_n.
• которые есть в формуле S (но не в R) - пусть это для определенности переменные s₁,...s_m.
• которые есть в обоих формулах и S, и R - пусть это для определенности переменные t₁,...t_l.

Пусть R S = true. Отсюда следует, что в обоих формулах - R и S есть хотя бы по одной свободной переменной. Формулы РБА без свободных переменных дают всегда один и тот же результат, то есть, они постоянны. А для постоянных формул R S = false. Также мы можем быть уверены, что среди свободных переменных в формулах R и S есть хотя бы одна общая. То есть, l ≥ 1. Это так, поскольку было доказано: для формул, не имеющих одноименных свободных переменных R S = false.

Рассмотрим предикаты R' и S', определенные следующим образом:

R'(r₁,...r_n,t₁,...t_l) = R

S'(s₁,...s_m,t₁,...t_l) = S

Пусть для некоторой комбинации значений свободных переменных R = true. Обозначим эту комбинацию как r'₁,...r'_n,t'₁,...t'_l. То есть,

R'(r'₁,...r'_n,t'₁,...t'_l) = true.

Этому случаю соответствуют строки таблицы истинности 3 и 4. Поскольку ситуация в строке 3 запрещена, остается только возможность, прописанная в строке 4. То есть, в этом случае должно быть S = true. То есть,

S(s₁,...s_m, t'₁,...t'_l) = true

При этом значения оставшихся неопределенными переменных s₁,...s_m могут быть произвольными.

Это можно записать в виде правила:

Если (R'(r'₁,...r'_n,t'₁,...t'_l) & R S), то s₁... s_m S'(s₁,...s_m, t'₁,...t'_l).

Данная формула является аналогом modus ponens.

Пусть теперь для некоторой комбинации значений переменных S = false. Обозначим эту комбинацию: s"₁,...s"_m, t"₁,...t"_l. То есть,

S'(s"₁,...s"_m, t"₁,...t"_l) = false

Этому случаю соответствуют строки таблицы истинности 1 и 3. Поскольку ситуация в строке 3 запрещена, остается только возможность, описанная в строке 1. То есть, в этом случае должно быть R = false. Это можно записать в виде правила:

Если (~S'(s"₁,...s"_n,t"₁,...t"_l) & R S), то r₁... r_n ~R'(r₁,...r_n, t"₁,...t"_l).

Данная формула является аналогом modus tollens.

Пусть теперь для некоторой комбинации значений переменных R = false. Этому случаю соответствуют строки таблицы истинности 1 и 2. Поскольку ни одна из строк не запрещена, то мы не можем сказать ничего достоверно об истинности S.

Пусть теперь для некоторой комбинации значений переменных S = true. Этому случаю соответствуют строки таблицы истинности 2 и 4. Поскольку ни одна из строк не запрещена, то мы не можем сказать ничего достоверно об истинности R.