Материальная
импликация

[предыдущая глава]  [оглавление]  [следующая глава]

Материальная импликация - это операция в формальной логике (включая булеву алгебру и т.п.). Она принимает два операнда (аргумента, параметра). Результат операции равен "лжи" (false) в том случае, если первый операнд равен "истине" (true), а второй операнд - "лжи". Во всех остальных случаях результат равен "истине". Таблица истинности для материальной импликации имеет вид:

a	b	a b
false	false	true
false	true	true
true	false	false
true	true	true

Эта таблица показывает истинность (true или false) результата операции в зависимости от истинности операндов. Таким образом, истинность результата зависит только от истинности операндов, а истинность операндов должна быть булевой константой true, либо false.

Иногда утверждается, что материальная импликация формализует условные высказывания. А именно: если дано высказывание A с истинностью a и высказывание B с истинностью b, то истинность условного высказывания "Если A, то B" будет равна a b.

Это утверждение вызывает ряд противоречий с интуитивным восприятием условных высказываний. Противоречия известны под названием "парадоксов материальной импликации". Необходимо отметить, что в математике все "чисто", и никаких парадоксов не обнаружено. Парадоксы возникают при выходе за границы математики, на прикладном уровне: когда мы пытаемся применить операцию "" для формализации условных высказываний в разговорной и научной речи. Но об этом мы еще поговорим подробно позднее.

Что касается других булевых операций для двух операндов, то они еще менее подходят для формализации условных высказываний.

Рассмотрим примеры парадоксов материальной импликации (ПМИ) детально.

Парадокс "из лжи следует все".

Наиболее известный вариант ПМИ. Возьмем какое-нибудь высказывание, о котором мы совершенно точно знаем, что оно ложно. Например, "вода сухая" или "кошка - это птица". Теперь составим условное высказывние:

"Если вода сухая, то Альберт Эйнштейн - физик".    (1)

Теперь рассмотрим материальную импликацию. Данное условное высказывание состоит из условия A = "вода сухая" и следствия B = "Альберт Эйнштейн - физик". Высказывание A ложно (a = false), высказывание B истинно (b = true). Согласно таблице истинности a b = false true = true.

Итак, это высказывание истинно, если принять материальную импликацию как способ формализации условных высказываний. А что насчет интуитивного восприятия фразы (1)? Да, Эйнштейн в самом деле физик, но разве этот факт как-то связан с тем, что вода сухая? Трудно представить себе сухую воду, и совсем уж трудно представить себе, какие такие соображения могут привести нас от этого "труднопредставимого" факта к заключению, что Эйнштейн - физик.

Вместо истинного высказывания "Альберт Эйнштейн - физик" мы могли бы привести какое-нибудь ложное. Например, "кошка - это птица".

"Если вода сухая, то кошка - это птица".    (2)

Если взять материальную импликацияю, то в данном случае, согласно таблице истинности, получим: a b = false false = true.

И снова: трудно представить себе сухую воду, и совсем уж трудно представить себе, какие такие соображения могут привести нас от этого "труднопредставимого" факта к заключению, что кошка - это птица. Вот пример из арифметики, построенный по тому же принципу:

"Если 3 > 5, то 2² = 1".    (3)

Парадокс "из лжи следует все" иногда используется в спорах как раз для того, чтобы подчеркнуть парадоксальность, абсурдность некоторого утверждения. Например: "Если он честный судья, то я - Папа Римский". Подразумевается, что тот человек вовсе не честный судья. К сожалению, подобные иронические высказывания не могут служить оправданием парадокса. Во-первых, приведенные выше примеры, особенно примеры (1) и (3), не содержат иронии. Во-вторых, шутливые, ироничные высказывания очень часто содержат ложь, двусмысленность и недоговоренность (что отчасти и придает юмористический оттенок), так что даже остроумное ироничное замечание не обязательно истинно. В-третьих, если говорящий неправ, и тот человек на самом деле честный судья, то говорящий от этого не станет Папой Римским.

В целом данный парадокс заключается в том, что false x = true при любом x. Поэтому достаточно взять в качестве условия любое ложное высказывание, а в качестве следствия - совершенно произвольное, и получить якобы истинное условное высказывание.

Парадокс "истина следует из всего".

Идея данного парадокса заключается в том, что x true = true при любом x. Поэтому достаточно взять в качестве следствия любое истинное высказывание, а в качестве условия - совершенно произвольное, и получить якобы истинное условное высказывание. Например:

"Если Зигмунд Фрейд - психоаналитик, то Альберт Эйнштейн - физик".    (4)

Если взять материальную импликацию, то в данном случае, согласно таблице истинности, получим: a b = true true = true.

По формуле получается true, однако интуитивно мы не можем обнаружить связи между тем, что Фрейд в самом деле психоаналитик и тем, что Эйнштейн в самом деле физик. Пример из математики:

"Если 2 + 2 = 4, то длина прямой бесконечна".    (5)

Тут условное высказывание состоит из двух истинных высказываний, которые относятся к совершенно различным областям математики, так что связать их логически, кажется, нереально.

Парадокс "в огороде бузина".

Высказывание

"Если в огороде бузина, то в Киеве дядька".    (6)

- является образчиком нелогичности, необоснованности, бессвязности, и ввиду этой бессвязности оно считается ложным (или, как минимум, необоснованным). Однако, согласно таблице истинности для материальной импликации, оно может быть истинным, если вдруг истинность его составляющих окажется подходящей (например, в самом деле в огороде, о котором идет речь, растет бузина, а дядька, о котором идет речь, живет в Киеве).

В принципе, ничто не мешает соединить в условном высказывании два совершенно произвольных высказывания A и B, между которыми нет никакой логической связи. Надо лишь подобрать из истинность так, чтобы попасть на одну из трех строк в таблице истинности, где результат материальной импликации равен true.

Однако в обычной ситуации мы обязательно подразумеваем какую-то логическую или смысловую связь между посылкой и следствием. Вопрос в том, как ее формализовать. Но на это вопрос материальная импликация ответа не дает.

Парадокс с произвольным высказыванием.

Возьмем три совершенно произвольных высказывания A, B, C. Кажется, что ввиду их произвольности, какие-либо условные высказывания будут неуместными. Однако рассмотрим формулу:

(A B) (B C)

Эта формула всегда истинна.

Приведу теперь еще два парадокса, которые я придумал сам, но вполне возможно, что они встречались где-нибудь у кого-нибудь раньше.

Парадокс неопределенной истинности.

Рассмотрим такую фразу:

"Некто является президентом США".    (7)

Истинная она или ложная? Наверное, ни то, ни другое: все зависит от того, о каком "некто" идет речь. Если речь идет о Джордже Буше-младшем (или кто там президент в тот момент, когда вы читаете этот текст), то она истинная. Иначе - ложная.

Рассмотрим другую фразу:

"Ему больше двух лет".    (8)

То же самое: истинность этой фразы зависит от того, к кому относится местоимение "ему". Если к новорожденному, то фраза (8) дает ложное высказывание, если к взрослому - истинное. Объединим теперь обе фразы в одно условное высказывание:

"Если некто является президентом США, ему больше двух лет".    (9)

Такая фраза является истинной. Возможно, в далеком будущем президентом США сможет стать годовалый ребенок, но пока что законодательство это запрещает. Так что, если я даже не знаю, сколько лет нынешнему президенту, и как его зовут, я могу по крайней мере утверждать, что если человек стал президентом, ему уж точно больше двух лет.

Итак, данная фраза истинна, и является условным высказыванием. Однако вычислить это по таблице истинности материальной импликации мы не можем, поскольку для этого нам нужно точно знать, чему равна истинность посылки и следствия. А в данном случае истинность посылки и следствия - переменные величины, зависящие от выбора человека, о котором идет речь.

Парадокс неизвестного объяснения.

Допустим, в одной стране агенты одной спецслужбы обсуждают одного человека по фамилии Сидоров. Один агент заявляет:

"Если Сидоров - гражданин Швеции, то Сидоров - вор".    (10)

Как мы можем интуитивно воспринять такое высказывание - как истину или как ложь?

Если мы будем категоричны, то мы, вероятно, скажем, что это ложь. Мы не видим, почему вдруг из того, что Сидоров имеет шведское гражданство, должно получаться заключение, что он вор. Так можно было бы говорить, если бы все граждане Швеции были ворами. Эдакая страна воров от мала до велика. Тогда шведское гражданство автоматически означало бы, что этот человек вор. Но мы с вами понимаем абсурдность подобного допущения, и потому считаем высказывание (10) ложным.

Возможно, мы не будем столь категоричны. Возможно, мы подумаем: этот агент, наверное, знает, что говорит. Может быть, у него есть какие-то дополнительные сведения, которые все-таки позволяют сделать такое заключение. Но мы точно не знаем, есть ли у него в самом деле такие сведения. В этом случае мы не сможем сказать, ложно высказывание (10) или истинно. Все зависит от того, есть у агента дополнительные обоснования, или нет.

Допустим, мы присутствуем на этом заседании, и у нас есть возможность задать уточняющие вопросы агенту. Мы спрашиваем: а почему сделан такой вывод? Какая может быть связь между шведским гражданством и воровством?

Допустим, агент отвечает: "Я так говорю потому, что все шведы - воры". Услышав такой ответ, мы, наверное, сделаем заключение, что утверждение этого агента ложно. Ведь оно основано на ложном утверждении: "все шведы - воры".

Теперь допустим, что агент отвечает иначе: "Я проверил данные по переписи населения Швеции. Среди жителей Швеции был всего один человек по фамилии Сидоров. В полиции я узнал, что тот Сидоров сидел в тюрьме за кражу. Поэтому, если наш Сидоров гражданин Швеции, то это может быть только тот самый Сидоров, который сидел за кражу, и потому он вор". Услышав такой ответ, мы, наверное, сделаем заключение, что утверждение этого агента истинно, поскольку обосновано. Если мы настроены скептично, то, возможно, мы захотим проверить его слова до конца. Допустим, в результате мы выясняем, что в самом деле в переписи населения Швеции значится только один Сидоров, и по сведениям полиции он сидел за кражу, а наше исследование материалов уголовного дела показало, что улики против него были достаточно серьезными. Сделав все эти проверки, мы, наверное, согласимся с тем, что высказывание (10) истинно, поскольку оно основано на истинном высказывании: "Среди граждан Швеции есть только один Сидоров, и он вор".

Кажется, что такой осторожный подход более оправдан, чем категоричное отрицание. Если бы мы категорично считали высказывание (10), ложным, а потом агент предъявил бы нам объяснения насчет переписи населения, то мы вынуждены были бы признать, что высказывание (10) истинное. С другой стороны, мы не можем считать высказывание и истинным, поскольку мы не знаем, есть ли у агента разумное объяснение своей позиции.

Этот парадокс я называю парадоксом неизвестного объяснения. Он заключается в том, что самой фразы (10) нам еще недостаточно для того, чтобы понять, лжет агент или говорит правду. Все зависит от объяснений, которые он может предъявить. А в материальной импликации истинность вполне определенна, зависит от истинности операндов, а никак не от предъявленных объяснений.