Аристотелева
логика
[предыдущая глава]  [оглавление]  [следующая глава]

Выше мы упоминали классическое исчисление высказываний и классическое исчисление предикатов. Эти дедуктивные системы позволяют нам в некоторых (но только в некоторых) случаях судить об истинности или ложности условных высказываний.

Аристотелева логика - это еще одна дедуктивная система, которая позволяет судить об истинности или ложности условных высказываний, опять же, в некоторых случаях. Это значительно более древняя логика (возраст более двух тысяч лет). Если взять ее наиболее строгую и формализованную часть, то получится некоторое количество формул. Эти формулы можно разделить на две группы. Одна группа является вариантом модальной логики. На данный момент есть много разных модальных логик. Тот вариант, который изложен у Аристотеля, ничем особенным не выделяется, и, по-видимому, представляет лишь исторический интерес. Другая группа формул представляет собой часть классического исчисления предикатов, и считается наиболее ценной. Рассмотрим ее вкратце.

Основу аристотелевой логики составляют четыре "horos" (если в латинской транскрипции). Переводить это слово можно по-разному, мне больше всего нравится вариант "соотношение". Итак, основу этой логики составляют 4 соотношения.

  1. Все A являются B.
  2. Никакие A не являются B.
  3. Некоторые A являются B.
  4. Некоторые A не являются B.

Посмотрим на все эти "является". Это фактически утверждения о принадлежности какому то множеству. "Является A" - значит, принадлежит A. "Является B" - значит, принадлежит B. Таким образом, фразу "x является X" можно выразить через математическую операцию принадлежности к множеству: x X. Далее, "все", "некоторые", "никакие" - это кванторы "" и "". Наконец, частица "не" действует как операция отрицания. Вот, что получится, если перевести четыре соотношения на язык формул:

  1. x (x A x B)
  2. x (x A x B)
  3. x (x A & x B)
  4. x (x A & x B)

Между этими четырьмя отношениями есть тесная связь. Отношения 1 и 2 даже внешне выглядят похоже, как и отношения 3 и 4. Чтобы показать сходство отношений еще нагляднее, выразим операцию материальной импликации через конъюнкцию по формуле a b = ~(a & ~b) и сделаем выравнивание символов:

1. x ~(x A & x B)
2. x ~(x A & x B)
3.x (x A & x B)
4.x (x A & x B)

Теперь, если мы захотим выразить эти соотношенияв логике предикатов, нам достаточно определить две функции-предиката:

a(x) = x A

b(x) = x B

Четыре соотношения сведутся к формулам логики предикатов:

1. x ~(a(x) & ~b(x))
2. x ~(a(x) & b(x))
3.x (a(x) & b(x))
4.x (a(x) & ~b(x))

Как уже говорилось, Аристотель рассматривал только некоторые условные высказывания, но не все. Подробнее других он изучал условные высказывания вида

Если X & Y, то Z,    (1)

где X, Y, Z - соотношения из тех четырех, что рассматривались выше. В соотношениях могут участвовать разные множества, но обязательно непустые. Например:

Если все A являются B, и все B являются C, то все A являются C.

Или в строгой формульной записи:

x (x A x B) & x (x B x C) x (x A x С)

Условные высказывания вида (1) называются силлогизмами. Аристотель рассмотрел все возможные силлогизмы и выделил среди них те, которые являются логически правильными.

Логическую правильность силлогизмов Аристотель обосновывал, расматривая разнообразные жизненные примеры. Минусом такого подхода является то, что отсутствует какое-то единое правило для всех силлогизмов вроде таблицы истинности материальной импликации. Аристотель вынужден был тщательно рассматривать множество комбинаций, что чревато ошибками. И действительно, одну он допустил, когда стал рассматривать чуть более усложненные силлогизмы в своей модельной логике. Эту ошибку иногда называют "проблемой двух Барбар"

В целом можно сказать, что аристотелева форальная логика не решает полностью вопрос о формализации условных высказываний, ограничиваясь лишь достаточно строгим рассмотрением некоторых важных случаев. Это уже немало, учитывая, что речь идет о временах до нашей эры. Но этого все-таки недостаточно для современной логики.