Примеры общего
следования

[предыдущая глава]  [оглавление]  [следующая глава]

Перейдем к рассмотрению примеров.

Для начала что-нибудь из естественного языка. В нем нет предикатов с переменными, обозначенными латинскими буквами. Однако в нем встречаются высказывания, содержащие слова, которые фактически играют роль переменных. Эти слова и словосочетания далее будут называться лексемами-переменными. Например, к лексемам-переменным относятся: "кто-то", "что-то", "как-то", "какой-то", "где-то", "куда-то", "кто-нибудь", "что-нибудь", "как-нибудь", "какой-нибудь", "где-нибудь", "куда-нибудь", "тот, кто" и др. Рассмотрим пример:

"Если кто-нибудь украдет чужие деньги, справедливый судья посчитает его вором."

В этом примере видно, что местоимения также могут играть роль переменных, когда они ссылаются на лексему-переменную - в данном случае это делает местоимение "его". Истинность этой фразы можно выразить в форме предиката:

P(x) = истинность фразы "Если (x) украдет чужие деньги, справедливый судья посчитает (x) вором."    (1)

В ряде случаев лексема-переменная состоит из словосочетания. Одно слово указывает на то, что это - переменная, а второе задает область значений этой переменной. Например:

"Если какой-нибудь человек украдет чужие деньги, справедливый судья посчитает его вором."

В данном случае словосочетание "какой-нибудь человек" одновременно является переменной (благодаря слову "какой-нибудь") и указывает область значений этой переменной: множество (или класс) "люди".

Слова "какой-нибудь", "тот" могут опускаться, но по контексту можно догадаться о том, что они здесь подразумеваются:

"Если человек украдет чужие деньги, справедливый судья посчитает его вором."

Здесь лексема-переменная - слово "человек".

Иногда лексема-переменная вообще отсутствует в тексте, но, тем не менее, истинность текста зависит от некоторых параметров. Чаще всего такими параметрами являются место, время, определенный человек. Например:

"Если меня ущипнуть во сне, то я сразу проснусь".

Спрашивается, истинно ли высказывание "меня ущипнуть во сне"? Оно вообще не выглядит как высказывание и даже грамматически неправильно. А если переформулировать: "меня ущипнули во сне" или "меня ущипнут во сне"? Тогда сразу встает вопрос: который сон имеется в виду? Может быть, в одну ночь человека ущипнут, а в другую - нет. Чтобы истинность фразы была однозначно определенной, надо указать время. То же самое и с фразой "я сразу проснусь". Какой момент времени имеется в виду? Далее, надо, чтобы эти моменты совпадали. Вряд ли человек имел в виду, что если его ущипнуть во сне завтра, то через два года он вдруг проснется. Получается, что в этом тексте присутствует переменная t (время), только она скрытая, она подразумевается, но не пишется:

"Если меня ущипнуть во сне в момент (t), то я проснусь в момент сразу после (t)".

Подобные скрытые утверждения редко встречаются в математических рассуждениях, но почти всегда - в обычных, повседневных. Их называют контекстом или пресуппозициями.

Что надо для того, чтобы найти подобные скрытые переменные? Для этого надо во-первых, посмотреть на высказывание и проверить, является ли оно грамматически правильным осмысленным. Если нет, то перефразировать его. После этого посмотреть, будет ли это высказывание однозначно истинным или ложным? Если оказывается, что ответ зависит от дооплнительных оговорок, то эти оговорки и будут скрытыми переменными. После этого надо переформулровать высказывание так, чтобы скрытые переменные были явно показаны в тексте. И, наконец, проверить себя: совпадает ли по смыслу переформулированная фраза с той, что была исходно?

Не в любом условном высказывании можно найти переменные. Такие фразы формализуются через частное следование, которое мы рассмотрим чуть позже.

Проанализируем пока формулу (1). Она состоит из двух частей - условия F(x) и следствия G(x):

F(x) = истинность фразы "(x) украл чужие деньги", G(x) = истинность фразы "справедливый судья посчитал (x) вором."

Пусть вор был вменяемым взрослым человеком, воровал сознательно и т.д. Пусть улик для его обвинения было достаточно. Пусть судья не был идиотом. В общем, из подобных оговорок и уточнений (которые подразумеваются "по умолчанию") можно составить толстый том, что очень характерно для естественного языка, но не будем на этом останавливаться. Примем как факт, что по закону судья должен считать такого человека вором, и ничто не помешает ему сделать это заключение.

Напомню формулу для следования:

A B = A & ~B & ~ (A & ~B)

В данном случае формула A - это просто предикат F(x), а формула B - предикат G(x). Получим:

F(x) G(x) = x F(x) & x ~G(x) & ~x (F(x) & ~G(x))    (2)

Параметр x у нас подразумевает некоторую область определения. Пусть это множество взрослых вменяемых людей. Рассмотрим первую часть формулы: x F(w). Существуют ли люди, которые украли чужие деньги? Да, конечно, есть же и не воры. Первое условие соблюдено. Рассмотрим вторую часть формулы: x ~G(w). Существуют ли люди, которых справедливый судья не посчитает ворами? Да, конечно, неворов он и не должен считать ворами. Это тоже верно, и второе условие соблюдено. Существуют ли люди, укравшие деньги, но которых справедливый судья не назовет вором? Если все "оговорки" соблюдены, то таких людей быть не должно. Третье условие соблюдено. Все три условия соблюдены, а значит, формула F(x) G(x) = true.

Пример из математики. Некоторых смущает тот факт, что пустое множество является подмножеством любого множества. Этот факт следует из определения подмножества: множество X является подмножеством Y, если для всякого x верно: x X x Y. Если в качестве X подставить , то левая часть импликации будет всегда false, и, как следствие, вся импликация - всегда true, независимо от выбора Y.

Теперь сформулируем определение подмножества через общее следование: множество X является подмножеством Y, если верно: x X x Y. Заметьте, что в этой формулировке нет слов "для любого x", поскольку кванторы и так упрятаны внутрь операции общего следования. Если в качестве X подставить , то условие следования будет всегда ложным, и не будет соблюдаться требование общего следования, по которому должно существовать хотя бы одно x, при котором условие следования истинно. Так что пустое множество не будет ничьим подмножеством, в том числе и своим.

Рассмотрим другой пример.

x x

Элементарный случай. Булева переменная x может принимать значения true и false. левая часть формулы может быть истинной, правая может быть ложной, но не то и другое одновременно. Не может быть условие истинным, а следствие ложным, поскольку и условие, и следствие - одна и та же величина. Результат равен true.

true x

Тоже простой случай. Левая часть всегда истинна, правая может быть ложной. А такое сочетание зпарещено. Результат равен false.

true true

Правая часть не может быть ложной, а это необходимо. Результат равен false. Замечание: при определенных условиях истинно true true.

x & y x

Левая часть может быть истинной (когда x = true, и y = true), правая часть может быть ложной (при x = false). Но одновременно то и другое невозможно, поскольку x не может быть одновременно true и false.

x x y

Левая часть может быть истинной (когда x = true), правая часть может быть ложной (при x = false и y = false). Но одновременно то и другое невозможно, поскольку x не может быть одновременно true и false.

x + y > 0 x + y + 5 > 0

x и y здесь - целые числа. Левая часть может быть истинной, правая - ложной. Если левая часть истинна, то x + y положительно, тогда x + y + 5, тем более, положительно. Поэтому не может быть одновременно левая часть истинна, а правая - нет.