Самый простой, надежный и очевидный способ доказательства того, что формула является тавтологией, - это составление таблиц
истинности. Однако, такой способ медленный, если формула достаточно сложная. Есть дополнительные методы, которые позволяют
ускорить анализ разных формул.
Рассмотрим первый метод... условно назовем его правилом равноистинности. Начнем с определения:
Тавтология всегда истинна. Любая формула, равноистинная тавтологии, тоже будет всегда истинна,
то есть будет тавтологией. Другими словами, все тавтологии равноистинны между собой и равноистинны
простейшей тавтологии-константе true. По той же причине все невыполнимые формулы
равноистинны между собой и равноистинны простейшей невыполнимой формуле-константе false.
Конечно же, не существует формулы, которая была бы равноистинна всем нейтральным формулам.
Доказательство
Возьмем произвольную комбинацию значений переменных из формул A(...) и B(...).
Вычислим A(...) и B(...), затем по таблице истинности для 
вычислим A(...) B(...). Переберем все варианты:
- A(...) = true, B(...) = true, A(...) B(...) = true.
- A(...) = true, B(...) = false, A(...) B(...) = false.
- A(...) = false, B(...) = true, A(...) B(...) = false.
- A(...) = false, B(...) = false, A(...) B(...) = true.
Если известно, что A(...) B(...) - тавтология, тогда она истинна при любых
комбинациях значений переменных, тогда возможны только варианты 1 и 4, поскольку
в них написано A(...) B(...) = true.
В обоих возможных вариантах истинность
A(...) совпадает с истинностью B(...), то есть, они равноистинны всегда.
Теперь докажем обратное утверждение. Если известно, что A(...) и B(...)
равноистинны, то есть, имеют одинаковую истинность при любых значениях переменных,
тогда возможны только варианты 1 и 4, поскольку в них справа от "A(...) = "
и справа от "B(...) = " стоит одно и то же: true и true,
либо false и false.
В обоих возможных вариантах истинность A(...) B(...) равна true, то
есть, эта формула истинна всегда (то есть, она тавтология).
Теперь мы можем говорить "A(...) и B(...) равноистинны" вместо
"A(...) B(...) - тавтология" и наоборот.
Получается, что символ равноистинности - это вариант обычного символа равенства "=", только
узкоспециализированный. Равенством можно обозначать одинаковость любых объектов, например, равенство чисел,
равенство строк, равенство истинностей и т.д. А символ равноистинности ""
предназначен исключительно для обозначения равенства истинностей. Тавтология, в которой посредине стоит
символ равноистинности, аналогична тождеству в обычной (школьной) алгебре. Если помните, тождество
в обычной алгебре означает, что две числовые формулы с переменными равны по числовой величине
при любых значениях переменных. А тавтология (со значком "") означает,
что две логические формулы с переменными равны по истинности при любых значениях переменных.
Равенство истинностей можно обозначать и обычным равенством. Далее мы будем говорить, в основном, о
равенстве по истинности, для которого можно употреблять любой из значков
"=" и "", руководствуясь соображениями наглядности.
[(+)равноистинная формула]: Если две формулы всегда имеют одинаковую истинность,
независимо от значений входящих в них переменных, то такие формулы называются равноистинными.