В рассмотренных примерах мы имели дело с формулами, содержащими переменные, и с текстами, содержащими лексемы-переменнуе. Но ведь в речи встречаются часто условные высказывания и не содержащие лексем-переменных, то есть, непараметризованные высказывания. С точки зрения логики они будут представлять собой формулы, имеющие постоянную истинность, не зависящую от каких-либо переменных. Как формализовать такие условные высказывания?
Оказывается, формализация вполне возможна, но при этом надо использовать частное следование.
И общее, и частное следование в естественном языке звучат как "если ... то..." В очередной раз
естественный язык демонстрирует свою неоднозначность, как в случае с союзом "или", который иногда может трактоваться как
операция 
"
"
Только для формулировки частного следования надо указать формулу общего следования и подстановку. Мы будем формулировать частное следование в такой форме:
"
B
B'
После этого само доказательство становится тривиальным: если общее следование истинно и подстановка правильна, то частное следование истинно, если общее следование ложно или подстановка неправильна, то частное следование ложно.
Примеры.
3 + 5 = 8
потому, что
y + x = z
и сделана подстановка:
"Если Раскольников зарубил старушку топором, то он убийца."
потому, что
"Если (
и сделана подстановка: "Раскольников" вместо
3 + 5 = z
потому, что
y + x = z
и выполнена подстановка:
Тоже истинное частное следование. Обратите внимание, что после подстановки в формуле еще остались свободные переменные. И операнды, оставшиеся после подстановки, можно объединить и операцией общего следования:
3 + 5 = z
- это истинная формула. Таким образом, после замены переменных в общем следовании может получиться другое общее следование. Но вообще-то так бывает не всегда. Вот пример.
true z true x
потому, что
y z y x
и выполнена подстановка:
Обратите внимание, что формула (1) истинна, но формула
true z true x
- ложна.
"Если (
- потому, что
"Если (
и подставлено "топор" вместо
Заметим, что если в формуле (2) заменить частное следование на общее, то получится истинная формула.
Всякая подстановка может быть выполнена в несколько этапов, если там есть несколько переменных.
Например, можно сначала подставить что-нибудь вместо переменной
3 + 5 = a + sin(t)
- потому, что
y + x = z
и подставлено
Это были примеры истинного частного следования. Приведем несколько примеров ложного.
y y
потому, что
y y
и подставлено
y y
потому, что
y
и подставлено x
x
- эта формула ложна, независимо от того, какое будет предложено общее следование
и подстановка, поскольку при
~x true
Это частное следование ни истинно, ни ложно. Его истинность не определена. "Запрещенная комбинация" с истинной посылкой и ложным следствием здесь невозможна. Но не указано, какое общее следование и какая подстановка привели к этому частному следованию. Поэтому нельзя сказать, истинна формула (4) или ложна.
Такая ситуация не является парадоксом, скорее наоборот. Вспомните, мы рассматривали парадокс неизвестного объяснения для условного высказывания:
"Если Сидоров - гражданин Швеции, то Сидоров - вор"
В зависимости от того, какое объяснение предъявлял агент, это высказывание получалось истинным или ложным, но до тех пор, пока объяснение не предъявлено, нельзя сказать, истинно высказывание или ложно. Когда агент предъявлял объяснение, он фактически указывал общее следование и подстановку. Так что тот факт, что истинность не определена, в точности соответствует интуитивному пониманию этого высказывания. Вот если бы она была определенной, тогда мы бы получили парадокс неизвестного объясняния.
Частное следование, таким образом, не является в чистом виде бинарной операцией.
Ведь для того, чтобы сделать вывод об истинности частного следования недостаточно знать
два операнда около ""
Вот еще нематематический пример. Жила была старушка, пришла она в гости к одному английскому профессору (который и приводил мне этот пример). У профессора компьютер подключен через модем к Интернету, и к той же линии подключен домашний телефон. И вот профессор по какому-то поводу заявляет старушке:
"Если у меня говорят по телефону, то мой компьютер не имеет связи с Интернетом". (5)
Старушка совсем не разбирается в компьютерах, так что не понимает, истинно это заявление или ложно. Для нее истинность этого частного следования неопределена. Если бы она разбиралась в компьютерах, она бы знала правило (общее следование):
"Если телефон (
Если подставить вместо
"Если мой телефон и модем моего компьютера подключены к одной линии, и у меня говорят по телефону, то мой компьютер не имеет связи с Интернетом". (6)
Фразы (5) и (6) не совпадают по написанию. Проверим, совпадают ли они по смыслу? Это возможно в том случае, если в фразе (5) утверждение "мой телефон и модем моего компьютера подключены к одной линии" не написано потому, что подразумевается по контексту. И в самом деле это так, в тексте перед фразой (5) оговариваются обстоятельства происходящего (контекст), в том числе и факт подключения к одной линии. Кстати говоря, без учета контекста в этом примере вообще не получается истинного общего следования. Рассмотрим этот вариант:
"Если по телефону (
Если не оговорить, что телефон и компьютер подключены к одной линии, то это общее следование ложное. Мало ли, какой телефон и компьютер имеются в виду. Возможно, некий Хосе Фернандес говорит по телефону в Бразилии, а компьютер принадлежит Лоле Папилоле из Италии, и имеет вполне нормальную связь с Интернетом.
Если бы профессор высказывал утверждение (5), не имея в виду подключение к одной линии, то мы бы, естественно, усомнились в его словах. Заметьте, что профессор не ссылается вслух на общее следование и подстановку. Здесь опять же, обычная практика умолчаний для естественного языка. Предполагается, что слушатель сам догадается, какое общее следование и подстановка имеются в виду, а если не догадается, то потребует разъяснений (как в примере с гражданином Швеции Сидоровым).
Неявные ссылки на общие правила встречаются в обычной речи постоянно. Например, замечание "если я сворую, меня могут посадить" - неявно ссылается на более общий закон в Уголовном Кодексе, который относится не только ко мне, но ко всем гражданам страны. Замечание "если у меня будут деньги, я куплю телевизор" - неявно ссылается на более общее житейское правило, которое относится ко всем покупателям и покупкам - что для любой покупки нужны деньги. Замечание "если дождя завтра не будет, поедем на шашлыки" - неявно ссылается на более общее правило, которое относится не только к шашлыкам и дождю - что отдых на природе в плохую погоду для этого человека неприемлем. И так далее, и тому подобное. Можете для тренировки расписать более общие правила с переменными, которые подразумеваются.
На самом деле подобные неявные ссылки встречаются и в математике. Иногда читаешь какое-то длинное логическое рассуждение в серьезной книге, и вдруг останавливаешься в непонимании: "а это автор откуда взял"? Бывает, что куча вычислений выполняется "в уме", а читатель должен догадываться, что там было сделано. Или в сотый раз используется какая-то теорема, так что автор не видит смысла в сотый раз ссылаться на нее. А ведь ссылка на теорему - это часто ссылка на некое общее следование. Тут, конечно, все зависит и от чувства меры автора, и от понятливости читателя. Я лишь хотел показать, что и в математике присутствуют в некотором количестве интуитивные догадки.