Вместо заключения рассмотрим парадоксы, о которых говорят сравнительно редко, но которые тоже решаются в следующей логике. Я говорю о парадоксах равносильности.

Операция "" булевой логики принимает два булевых операнда. Результат операции true, когда оба операнда истинны или когда оба ложны; иначе результат операции - false.

Операция "" в математической литературе называется эквивалентностью, равносильностью, эквиваленцией. С этой операцией связаны парадоксы, подобные парадоксам материальной импликации. Они не столь известны, возможно, благодаря тому, что в обыденной речи редко встречаются обороты со словами "эквивалентно" или "равносильно". Тем не менее, парадоксы эти существуют.

В математике употребляются такие обороты, как "необходимо и достаточно", "тогда и только тогда". Эти обороты иногда предлагается формализовать с помощью операции "". Однако, если мы согласимся с такой формализацией, мы вынуждены будем признать, что истинны все фразы, в которых эти слова соединяют два истинных (или два ложных) высказывания, никак не связанных между собой по смыслу. Например:

"Солнце горячее тогда и только тогда, когда лед холодный"

"Чтобы 2 + 2 = 5 необходимо и достаточно, чтобы существовал предел sin(x) при стремлении x к +∞"

Теперь коротко о том, что касается семантики операций. Операция "", как и операция "" абстрагируется от всего, кроме истинности операндов. Смысл операндов для нее неважен, в том числе неважно и наличие зависимости между истинностью одного и другого операнда. Истинность результата операции "" означает лишь то, что истинности операндов равны, но не означает того, что истинность операндов зависит друг от друга. Итак, "" означает лишь равную истинность, и потому предлагается называть ее операцией равноистинности. В этом случае слова:

"Солнце горячее" равноистинно "Лед холодный"

звучат, как мне кажется, вполне адекватно.

В первой части рассматривались операции "двойного общего следования" и "двойного частного следования":

A B = (A B) & (B A)

A _Subst B = (Subst(A') = A) & (Subst(B') = B) & (A' B')

Операция "" гарантирует характерную зависимость операндов: что левый операнд истинный, когда истинный правый и наоборот; что левый ложный, когда ложный правый и наоборот; что зависимость действительно имеет место ввиду наличия одноименных переменных, которые делают формулы A и B переменными. Как мне кажется, это свойство операции "" точно соответствует смыслу выражений "тогда и только тогда", "необходимо и достаточно". Поэтому операцию "" я предлагаю называть "равносильностью", "эквивалентностью" и, возможно, "равнозависимостью". Соответственно, можно говорить об общей равносильности "" и частной равносильности "".

Соответственно математические обороты "необходимо" и "достаточно" сводятся к следованию. A B формализует обороты: "Для A необходимо B" и "Для B достаточно A".

Наконец, операция равенства "=" означает равенство каких-нибудь свойств операндов. Ее смысл зависит от типа операндов и контекста. Иногда она может означать равноистинность, иногда - равнозависимость, иногда - равенство по смыслу, иногда - равенство по написанию, очень часто - равенство по числовой величине. Таким образом, различные виды равенства: равноистинность, общая равносильность, частная равносильность и равенство оказываются достаточно четко разделены, что позволяет избегать парадоксов.