Заключение
[предыдущая глава]  [оглавление]  [следующая глава]

Помимо многочисленных вариантов КИВ, есть и другие похожие (но не эквивалентные) дедуктивные системы. Самая известная из них - интуиционистская логика. В ней эксперимента ради была выброшена одна из аксиом (~~a a) и заменена на (~a (b b)). В результате получилась вполне развитая дедуктивная система, в чем-то похожая на КИВ, но где-то дающая другие результаты. Тем самым было показано, что вполне может быть логика, отличающаяся от "классической", но вполне развитая.

Булева алгебра и КИВ во многом взаимозаменяемы. Теоремам КИВ соответствуют тавтологии булевой алгебры. Невыполнимые формулы булевой алгебры могут быть опровергнуты в КИВ. Нейтральные формулы булевой алгебры не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты в КИВ (т.е. может быть доказано их отрицание). В рассмотренном нами варианте КИВ нет символов true и false, но это не принципиально, поскольку есть варианты КИВ и с этими символами. Если интересно, можете добавить две простые дополнительные аксиомы: true и ~false - и посмотреть, что получится.

Некоторая взаимозаменяемость вовсе не означает равноценность - эти две системы имеют много важных различий.

Когда речь заходит об определении истинности или доказанности некоторой формулы, булева алгебра удобнее. Проще составить таблицу истинности (тем более, с помощью компьютера), чем долго угадывать подходящую теорему или метатеорему КИВ. А во что разворачиваются все эти бесчисленные стрелки и скобки, когда их начинаешь применять к формулам хотя бы в 5-6 переменных - просто страшно смотреть.

Полезность КИВ заключается прежде всего в том, что на ее примере можно освоиться с такими понятиями, как аксиома, теорема, доказательство, гипотеза, полнота и непротиворечивость и т.д. В булевой алгебре всего этого нет в таком явном, подчеркнутом виде. Также на примере КИВ можно понять принципы, по которым проводят грань между языком и метаязыком.

Формулы булевой алгебры, когда их переносят в естественный язык, по большей части работают безупречно - за исключением материальной импликации, которая в этом случае, напротив, ведет к опасным парадоксам. Пока рассмотрение материальной импликации ограничивается математикой - все хорошо, но как только ее начинают применять в естественном языке - возникают кое-какие проблемы (так называемые парадоксы материальной импликации). Что касается КИВ - в ней все крутится именно вокруг материальной импликации, поэтому применение КИВ в естественном языке проблематично. Даже некоторые аксиомы КИВ (например, Imp1) в естественном языке не выполняются.


[предыдущая глава]  [оглавление]  [следующая глава]